ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶ ಎನ್ನುವುದು ಪೋಲಿಷ್ ಗಣಿತವಿದ ಸ್ಟೀಫನ್ ಬಾನಾಕ್ (1892-1945) 1932ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಗ್ರಂಥ ‘ಸರಳ ಪರಿಕರ್ಮಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ’ದಲ್ಲಿ ಮಂಡಿಸಿದ ನೂತನ ಗಣಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ (ಬಾನಾಕ್ ಸ್ಪೇಸಸ್). ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಗುಣವಿಶೇಷಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಅವೆಲ್ಲ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೂ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವಂಥ ಅಮೂರ್ತ ಭಾವನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಕಲ್ಪಿಸಿ ಈ ಬಗೆಯ ಆಕಾಶಗಳನ್ನು ಈತ ನಿರ್ಮಿಸಿದ. == ಸರಳ ಆಕಾಶಗಳು (ಲೀನಿಯರ್ ಸ್ಪೇಸಸ್) == ಒಂದು ಅಶೂನ್ಯ ಗಣವಾಗಿದ್ದು ಅದರಲ್ಲಿ + (ಸಂಕಲನ) ಒಂದು ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮವಾಗಿರಲು, ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಸಂಕುಲವಾಗಿರಲು (ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗ್ರೂಪ್), ಎಂದರೆ ∀ , , ∈ {\ \ \ ,,\ \ \ } ( ಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ ಧಾತು , , ಗಳಿಗೂ) ಈ ಮುಂದೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಐದು ಗುಣಗಳಿರಲಿ: + Ԑ (+) + = + (+) + = + ಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ ಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುವಂತೆ ಮತ್ತು + = ಆಗುವಂತೆ ಇರುವ ಒಂದು ಧಾತು ಯು ಯಲ್ಲಿರಬೇಕು. ಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧಾತು ಗೂ ತಕ್ಕ ಧಾತು – ಎಂಬುದು – + = ಆಗುವಂತಿರಬೇಕು. ಹೀಗಿದ್ದರೆ ಯನ್ನು ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಯ (ಕಾಮ್ಯುಟೇಟಿವ್) ಸಂಕುಲವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಸದಿಶಗಳು ಇಲ್ಲವೇ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಸಂದರ್ಭೋಚಿತವಾಗಿ ಕರೆಯುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ (). ಇದರ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಅದಿಶಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ∀ α ∈ {\ \ \ \ \ \ \ } ಮತ್ತು ∀ ∈ {\ \ \ \ \ \ } ಗಳಿಗೂ ಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸದಿಶ αx ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವಂತಿರಲಿ. ಮೇಲಾಗಿ ಇಂಥ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಈ ಮುಂದಿನ ನಾಲ್ಕು ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳನ್ನು (ಪಾಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ಸ್) ಪಾಲಿಸುವಂತಿರಲಿ: ∀ , ∈ {\ \ \ ,\ \ \ \ } ಮತ್ತು ∀ α , β ∈ {\ \ \ \ ,\ \ \ \ \ } α(+) = αx + αy (α+β) = αx + βx α(βx) = (αβ) 1x = ಇಲ್ಲಿ 1 ಎಂಬುದು ನ ಏಕಾಂಶ. ಹೀಗಿದ್ದರೆ ಯನ್ನು ನ ಮೇಲೆ ರಚಿತವಾದ (ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿ ಮೇಲಿನ) ಒಂದು ಸರಳ ಆಕಾಶ (ಲೀನಿಯರ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಅಥವಾ ಸದಿಶ ಆಕಾಶ (ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. == ಮಾನಕಯುಕ್ತ ಸರಳ ಆಕಾಶಗಳು (ನಾರ್ಮ್ಡ್ ಲೀನಿಯರ್ ಸ್ಪೇಸಸ್) == ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ ಅಥವಾ ಎಲ್ಲ ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ ಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲಿ. ಎಂಬುದು ಮೇಲೆ ರಚಿತವಾದ ಒಂದು ಸರಳ ಸಮಷ್ಟಿಯಾಗಿರಲಿ. ಈಗ ಈ ಮುಂದಿನ ಮೂರು ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುವ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ → ‖ ‖ {\ \ \|\|} ನ್ನು ನಿಂದ ನೊಳಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ್ದೇವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಎಂದರೆ ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗೂ ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ ‖ ‖ {\ \|\|} ಅನ್ವಯಯಾಗುತ್ತದೆ: ∀ , ∈ {\ \ \ ,\ \ \ \ } ಮತ್ತು ∀ α ∈ {\ \ \ \ \ \ \ } ಗಳಿಗೂ ‖ ‖ ≥ 0 {\ \|\|\ 0} ಮತ್ತು ‖ ‖ = 0 ⇔ = 0 {\ \|\|=0\ =0} ‖ + ‖ ≤ ‖ ‖ + ‖ ‖ {\ \|+\|\ \|\|+\|\|} ‖ α ‖ = | α | ‖ ‖ {\ \|\ \|=|\ |\ \|\|} ಈ → ‖ ‖ {\ \ \|\|} ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮಾನಕ ಉತ್ಪನ್ನ (ನಾರ್ಮ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಅಥವಾ, ಸರಳವಾಗಿ, ಮಾನಕ ಎಂದು ಹೆಸರು. ‖ ‖ {\ \|\|} ನ್ನು ನ ಮಾನಕವೆಂದೂ, ಇಂಥ ಒಂದು ಸರಳ ಆಕಾಶ ಗೆ ಮಾನಕಯುಕ್ತ ಸರಳ ಆಕಾಶ ಎಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮಾನಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು ನ್ನು ಒಂದು ದೂರಾತ್ಮಕ ಆಕಾಶವಾಗಿ (ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಮಾಡಬಹುದು. ∀ , ∈ {\ \ \ ,\ \ \ \ } ಗಳಿಗೂ ( , ) = ‖ − ‖ {\ (,)=\|-\|} ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಹೀಗೆ ದೊರೆತ ಉತ್ಪನ್ನ (, ) → (, ) ಎಂಬುದು ದೂರ ಉತ್ಪನ್ನದ ( ) ಎಲ್ಲ ಅಭಿಗೃಹಿತಗಳನ್ನೂ ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ: (, ) ≥ 0, = ⇔ = (, ) = (, ) (, ) ≥ (, ) + (, ) ಹೀಗಾಗಿ ಮಾನಕಯುಕ್ತ ಸರಳ ಆಕಾಶಗಳೆಲ್ಲ ದೂರಾತ್ಮಕ ಆಕಾಶಗಳೂ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. == ಸಂಪೂರ್ಣತೆ(ಕಂಪ್ಲೀಟ್‌ನೆಸ್) == ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾನಕಯುಕ್ತ ಸರಳ ಆಕಾಶಗಳಲ್ಲಿ ಶ್ರೇಣಿಗಳ ಅಭಿಸರಣೆ ಮುಂತಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು. ಈಗ { | = 1, 2, 3……} ಎಂಬುದು ನ ಬಿಂದುಗಳ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿ ಅಗಿರಲಿ. Є > 0 ಎಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೂ ಇದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಂಡು ‖ − ‖ ≤∈ ∀ , ≥ 0 {\ \|x_{}-x_{}\|\ \ \ \ \ ,\ n_{0}} ಆಗುವಂತಿರುವ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n0 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದಾದರೆ ಅಂಥ ಶ್ರೇಣಿ {} ಯು ಇದರಲ್ಲಿಯ ಒಂದು ಕೌಷೀ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. == ವ್ಯಾಖ್ಯೆ == ದೂರಾತ್ಮಕ ಆಕಾಶವೊಂದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೌಷೀ ಶ್ರೇಣಿಯೂ ಅಭಿಸರಣೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಆ ಆಕಾಶಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೂರಾತ್ಮಕ ಆಕಾಶ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಎಂದರೆ {} ಯು ಇದರಲ್ಲಿಯ ಒಂದು ಕೌಷೀ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಇದೇ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದು ಗೆ ಅಭಿಸರಿಸುತ್ತದೆ (→). ಹೀಗೆಂದರೆ Є>0 ಎಷ್ಟೇ ಅಲ್ಪವಾಗಿದ್ದರೂ ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ ‖ → ‖ < ϵ , ∀ ≥ 0 {\ \|x_{}\ \|<\ ,\ \ \ n_{0}} ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n0 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೆಂದು ಅರ್ಥ. ಈವರೆಗೆ ವಿವರಿಸಿದ ಕೆಲವು ಪಾರಿಭಾಷಿಕ ಪದಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶಗಳನ್ನು ಈಗ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾನಕಾತ್ಮಕ ಸರಳ ಆಕಾಶಕ್ಕೆ ( ) ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು: 1. ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ {\ \ {} } ನ್ನು {\ \ {} } ಮೇಲೆ ರಚಿತವಾದ ಒಂದು ಸರಳ ಆಕಾಶ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಇದರಲ್ಲಿ ∀ ∈ ‖ ‖ = | ) {\ \ \ \ \ \ \ {} \ \|\|=|)} ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ ಇದು ಒಂದು ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶ. ಹಾಗೆಯೇ ಎಲ್ಲ ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ {\ \ {} } ಯು {\ \ {} } ಮೇಲಾಗಲಿ {\ \ {} } ಮೇಲಾಗಲಿ ರಚಿಸಿದ ಒಂದು ಸರಳ ಅಕಾಶ. ಇದರಲ್ಲಿ ∀ = α + β ∈ ⋯ ‖ ‖ = 1 1 = α 2 + β 2 {\ \ ^{}=\ +\ \ \ \ \|\|=1z1={\ {\ ^{2}+\ ^{2}}}} ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲಾಗಿ {\ \ {} } ಒಂದು ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶವಾಗುತ್ತದೆ. 2. ಇದನ್ನೇ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಿ = {\ \ {} } ಅಥವಾ {\ \ {} } ಆಗಿದ್ದರೆ = {(z1,z2,…..,) | z1,z2,…., Є } ಎಂಬ ಆಯಾಮದ ಸರಳ ಆಕಾಶ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದರಲ್ಲಿ ||z1,z2,…..,) ||1 = | 1 | 2 + | 2 | 2 + ⋯ + | | 2 {\ {\ {|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+\ +|z_{}|^{2}}}} ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ ಈ ಬಗೆಯ ಮಾನಕದಲ್ಲೂ ಒಂದು ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶವಾಗುತ್ತದೆ. 3. ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶ ಆಗಿಸಬಹುದು: 1≤ <∞ ಇರುವಂತೆ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ ಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ‖ ( 1 , 2 , ⋯ , ) ‖ = [ ∑ = 1 | | ] 1 {\ \|(z_{1},z_{2},\ ,z_{})\|\ =\[\ _{=1}^{}|z_{}|\ \]^{\ {1}{}}} ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ ಈ ಬಗೆಯ ಮಾನಕದಲ್ಲೂ ಒಂದು ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶ ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು {\ I_{}^{}} ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ. 4. ನ್ನು ಇನ್ನೂ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು: ||(z1,……….,)|| = ಗರಿಷ್ಠ {|z1| ,….., ||} ಎಂದರೆ |z1|,…..,|| ಗಳಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠತಮವಾದುದು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಬಾನಾಕ್ ಅಕಾಶ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ∞ {\ I_{\ }^{}} ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. 5. ಒಂದು ಸಂಸ್ಥಿತೀಯ ಆಕಾಶ (ಟಾಪಾಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಆಗಿರಲಿ. ಎಂದಿನಂತೆ ಎಲ್ಲ ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಅಥವಾ ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ) ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ. ನಿಂದ ನೊಳಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ ಎಲ್ಲ ಪರಿಬಂಧಿತ (ಬೌಂಡೆಡ್) ಅವಿಚ್ಫಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ ( ) :→ ಗಳ ಗಣವನ್ನು () ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಈಗ () ಎಂಬುದು ಮೇಲೆ ರಚಿತವಾದ ಒಂದು ಆಕಾಶ ಆಗುವುದು. ಇದರಲ್ಲಿ ∀ ∈ ( ) , → ‖ ‖ {\ \ \ \ (),\ \|\|} ಮಾನಕವನ್ನು |||| = ಗರಿಷ್ಠ ಪರಮಾವಧಿ (ಸುಪ್ರಿಮಮ್) { | () | ∀ Є () ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಇದು () ನ್ನು ಒಂದು ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. == ಉಲ್ಲೇಖಗಳು == == ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು == " ", , , 2001 [1994] , ., " ", .